Математика и наука

Философия и математика не науки. Любое математическое высказывание есть высказывание о нем же самом, а не о чем-то внешнем математике. Истинность этого высказывания проверяется там же - не выходя за пределы математики. Аналогично и в философии: философское высказывание есть высказывание о мыслях философа и верифицируется в рамках его же мышления. Поэтому философские и математические системы не фальсифицируемы - мы не можем эмпирически опровергнуть ни никакую философскую систему, ни доказанную (без логических ошибок) теорему. Это в отличие от научных систем, которые всегда могут быть подвергнуты сомнению в будущем при обнаружении новых эмпирических данных.
...
... научное высказывание всегда есть проверяемое высказывание о некотором предмете (предмете научного исследования). А что "изучает" математика? Что является ее предметом? Предметом математического анализа являются математические же конструкты - в этом случае "проверяемость" (верифицируемость) сводится к тождеству с самим собой: логически истинное математическое высказывание подтверждает себя же (и ничего вне себя). В математике логическая истинность абсолютно совпадает с эмпирической. Более того, в математике (как и в философии) изменение теоретической системы изменяет и сам предмет, что немыслимо для науки.
...
Попперевский фальсификационизм (научной можно считать только такую теорию, предсказания которой хотя бы потенциально могут быть опровергнуты) может быть переформулирован в положительном смысле: любая научная теория является ограниченной, то есть может достоверно описывать лишь ограниченное количество феноменов, работать на ограниченном пространстве качеств изучаемого предмета. Из этого положения однозначно следует, что за указанной областью своей достоверности, теория будет давать неистинные предсказания. Что Поппер и сформулировал в отрицательном тезисе: у любой теории должны быть опровергаемые предсказания.

Из положительного тезиса следует вывод: если в теории не указаны границы ее применимости, если она претендует на абсолютность своих предсказаний - она ненаучна.